सामग्री का परिचय: प्रकृति और गुण (भाग 1: सामग्री की संरचना)
प्रो आशीष गर्ग
सामग्री विज्ञान और इंजीनियरिंग विभाग
भारतीय प्रौद्योगिकी संस्थान, कानपुर
व्याख्यान - 07
ब्रावाइस लैटिस
क्रिस्टल में समरूपता
इस व्याख्यान में, हम Bravais जाली और क्रिस्टल में समरूपता की शुरूआत पर चर्चा करने जा रहे हैं । तो, मैं आपको एक संक्षिप्त संक्षिप्त संक्षिप्त देता हूं। हमने अंतिम वर्ग में आदिम, गैर-आदिम जाली पर चर्चा की। आदर्श या आधार क्या है? और परमाणुओं, अणुओं या आकृति का सापेक्ष अभिविन्यास आपके पास आदिम इकाइयों के प्रकार को कैसे निर्धारित करता है। यह आदिम जाली की परिभाषा का पालन करना चाहिए, अर्थात आदिम इकाई प्रकोष्ठ के भीतर, यह एक दोहराने योग्य इकाई होनी चाहिए, कोई अंतराल या विच्छेदन नहीं होना चाहिए, और इसे दोहराया जाना चाहिए । इसलिए, यदि आप सबसे छोटी संभव कोशिका चुनते हैं, जिसे एक दूसरे के संबंध में अणुओं के अभिविन्यास को ध्यान में रखना चाहिए, तो यह ऐसा होना चाहिए ताकि यह दोहराया जा सके। यह जुड़े प्रजातियों के सभी के लिए एक समान पड़ोस है ।
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तो अब मैं अगले टॉपिक पर जा सकता हूं। 3-डी में 7 क्रिस्टल सिस्टम और 14 ब्रावाइस जाली हैं। इसके अलावा, हमने देखा कि प्रत्येक गैर-आदिम जाली, जैसे कि एक कक्ष प्रणाली के मामले में चेहरा केंद्रित घन या शरीर केंद्रित घन जाली, जाली बिंदुओं की संख्या के आधार पर आदिम जाली की संख्या से बना है। तो, उदाहरण के लिए, एक शरीर केंद्रित घन में दो जाली अंक होते हैं, जिसका अर्थ है कि यह दो आदिम घन जाली के बराबर है। इसी तरह, चेहरे पर केंद्रित घन जाली चार जाली अंक है, और यह है के बराबर है यह चार आदिम जाली के बराबर है । इसलिए, किसी को गैर-आदिम जाली के भीतर आदिम जाली को आसानी से आकर्षित करने में सक्षम होना चाहिए।
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उदाहरण के लिए, एक आदिम जाली, यह 2D में है। इसमें, हमारे पास परमाणुओं की एक सरणी है। हमने पहला आदिम इकाई प्रकोष्ठ तैयार किया है, एक1 एक आदिम जाली वेक्टर है, एक2 एक आदिम जाली है। लेकिन, आदिम कोशिका का चुनाव अद्वितीय नहीं है, अनिवार्य रूप से आप किसी भी आदिम वेक्टर का चयन कर सकते हैं जो आदिम इकाई कोशिका को जन्म दे सकता है। तो, आपके पास आदिम जाली वैक्टर हैं एक1', एक2', हालांकि, अलग है यह a2 के रूप में ही नहीं है, एक2' इस परमाणु से उस परमाणु तक है, लेकिन यह अभी भी आपको एक आदिम इकाई सेल देता है इन दोनों कोशिकाओं का क्षेत्र एक दूसरे के बराबर होने जा रहा है। आप तीसरे में देख सकते हैं, और आप कहते हैं एक1", और एक2". इसलिए, आदिम जाली वैक्टर का विकल्प, जैसा कि आपके पास कई विकल्प हो सकते हैं, यह एक निश्चित विकल्प नहीं है जब तक आप उन दो वैक्टर या 3-डी में उन तीन वैक्टर से एक आदिम इकाई सेल बना सकते हैं। इसी तरह, इस मामले में, आप एक1''', आप देख सकते हैं कि यह यूनिट सेल है जिसे आप ड्राइंग कर रहे हैं, एक गैर-आदिम इकाई सेल है, जो बड़ा है।
इसी तरह, गैर-आदिम इकाई कोशिकाओं के लिए कई विकल्प भी हैं। इसलिए, इस मामले में, आपके पास एक गैर-आदिम इकाई सेल हो सकता है, और यह एक जाली वेक्टर हो सकता है, या यह एक जाली वेक्टर हो सकता है। इसलिए, मैं इस बात पर जोर देने की कोशिश कर रहा हूं कि जब आप एक विशेष आदिम इकाई सेल चुनते हैं, तो आदिम इकाई सेल वैक्टर का विकल्प कई है। उन वैक्टर हमेशा आपको एक ही क्षेत्र के एक ही प्रकार की आदिम इकाई सेल क्यों देते थे?
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बीसीसी में पहला सेट है,
अभी भी निर्मित आदिम जाली में वैक्टर का यह सेट या आपके पास वैकल्पिक रूप से वैक्टर का सेट हो सकता है, जो बीसीसी में अधिक सुविधाजनक लगता है, आप जो चुनते हैं वह समरूपता पर निर्भर करता है, लेकिन कई संभावनाएं हैं। यह बीसीसी यूनिट सेल है। इसलिए, हम वहां नीचे पड़े परमाणुओं की जांच कर रहे हैं। यह केंद्र में एक है, यह दाईं ओर है, यह नीचे परमाणु है, और यह परमाणु है जो नकारात्मक पक्ष पर कहीं है। तो, उदाहरण के लिए, आप यहां से यहां के लिए चुना जा सकता है, यह एक जाली वेक्टर हो सकता है । इसलिए, इस मामले में, हम इस मुद्दे को मूल के रूप में ले रहे हैं, इसीलिए हमने परमाणु को चुना है जो वहां नीचे है । तो, आप देख सकते हैं कि यह वाई है, यह एक्स है, और यह जेड है। तो, इस वेक्टर वाई का आधा है, इस दिशा में; जेड का आधा, जो इस दिशा और फिर एक्स का आधा है। इसलिए, यह आपको सही सामना करना पड़ रहा है। तो, एक्स इस दिशा में है यह परमाणु सेल के भीतर है, और यह आपके सामने सेल के बाहर है, यह यूनिट सेल में केंद्रीय परमाणु के अधिकार के लिए है, यह इकाई सेल में केंद्रीय परमाणु के नीचे है। तो, आप देख सकते हैं कि सेट है,
और इन वैक्टर को ठीक करके, आप एक यूनिट सेल कुछ इस तरह से कर सकते हैं। तो, आप एक जाली है, और आप जाली अनुवाद किया है। अब आप उन्हें कनेक्ट करते हैं, और आपको कुछ ऐसा करना चाहिए जो आपके पास है। इसलिए, यह एक आदिम कोशिका है, और मात्रा एक आदिम इकाई सेल मात्रा का आधा है।
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यह एफसीसी के मामले में है, जहां आप वैक्टर हो सकते हैं। तो, इसे एक मूल के रूप में चुनें; यह a1, a2 है, और यह a3 है। तो, कोने परमाणुओं एक परिणाम के रूप में तीन चेहरा केंद्र परमाणुओं से जोड़ने,
यदि आप अपने मूल को अलग ढंग से चुनते हैं, तो आपके वैक्टर और संकेत बदल जाएंगे। इसलिए, यदि आप इन तीन वैक्टर का उपयोग करने से कनेक्ट होते हैं, तो आपको यह समानांतर या समानांतर मिल जाता है। यह आदिम प्रकोष्ठ है। गैर-आदिम इकाई प्रकोष्ठ में आदिम शामिल है? सबसे कम जाली अनुवाद वेक्टर क्या है? यही हम देखते हैं, इसलिए, यही आदिम जाली वेक्टर है, जो आदिम जाली वेक्टर है क्योंकि एक आदिम कोशिका दो आदिम कोशिकाओं से बनी होती है । इसलिए, आप हमेशा गैर-आदिम कोशिका के भीतर एक आदिम जाली वेक्टर चुन सकते हैं।
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गैर-आदिम जाली वेक्टर एक घन होगा। तो, गैर आदिम जाली वेक्टर यह होगा, कि और वह है, लेकिन ये सबसे कम जाली अनुवाद वेक्टर जो आदिम जाली वैक्टर है ।
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इसलिए, मैं सोचता हूं कि पहले की कक्षाओं में से एक में मैंने आपसे 2-डी जाली खींचने के लिए कहा था जो संभव है । इसलिए, कुछ संभावनाएं हैं जो आप पहले देख सकते हैं, एक के बराबर नहीं है जन्म और θ 90 के बराबर नहीं है0. अन्य दो संभावनाएं हैं एक के बराबर नहीं है जन्म, लेकिन θ 90 के बराबर है0, और तीसरा एक, एक के बराबर नहीं है जन्म, और θ 90 के बराबर है0, लेकिन आप परमाणु है एक केंद्र में। इसलिए, यह एक आयताकार केंद्रित जाली है। तो, यह एक तिरछी जाली है, यह एक आयताकार और केंद्रित है, यह षट्कोणीय है जिसमें एक के बराबर है जन्म, θ 120 के बराबर है0, और फिर तुम एक वर्ग जाली जहां एक के बराबर है जन्म और θ 90 के बराबर है0.
इसलिए, ये संभावनाएं हैं जो 2डी में मौजूद हैं, ब्रावाइस जाली की पांच संभावनाएं हैं। इसलिए, अब हम आदिम और गैर-आदिम इकाई प्रकोष्ठ के बारे में बात कर रहे हैं, और हमने यह भी कहा है कि आदिम इकाई कोशिकाओं की कई संभावनाएं हैं । किसी के पास व्यवस्था के प्रकार के आधार पर एक वर्ग हो सकता है, और आपके पास एक समानांतर ग्राम हो सकता है। इसलिए, कई संभावनाएं प्रदान की जाती हैं; उनके पास प्रति यूनिट सेल केवल एक जाली बिंदु है। सवाल यह था कि आप एक कसौटी को कैसे परिभाषित करते हैं? इसलिए, कि आप कई संभावनाओं के साथ समाप्त नहीं होते हैं। आप उन्हें कुछ मानदंडों में कैसे फिट करते हैं, और यहीं इस क्रिस्टल सिस्टम की प्रणाली अस्तित्व में आई। जाली मापदंडों और उनके सहसंबंधों के आधार पर क्रिस्टल सिस्टम के अनुसार वर्गीकरण।
तो, आप इस कसौटी कैसे प्राप्त करते हैं? यह है के रूप में आप समरूपता के आधार पर यह देख सकते हैं । तो, आप सहज हो सकते हैं कि टेट्रागोन की तुलना में घन अधिक सममित है क्योंकि एक घन में तीन समान पक्ष होते हैं, इसमें सभी 90 होते हैं0 कोण, और टेट्रागोन में सभी 90 हैं0 कोण, लेकिन इसका एक पक्ष है जो अन्य दो की तुलना में अलग है। सवाल उठता है कि यह कसौटी क्या है? इस कसौटी को विकसित करने के लिए कुछ क्रिस्टलोग्राफी सममित विचार हैं जिनका पालन किया जाना है । अब हम अगले कुछ मिनटों में उस समरूपता के मापदंड को उठाएंगे ।
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तो, अब हम क्रिस्टल में समरूपता नामक इस के साथ क्या शुरू करते हैं, और हमें यह समझने की आवश्यकता क्यों है? तो, कि हम क्रिस्टल प्रणाली वर्गीकरण और Bravais Lattices के विकल्प के आधार के पीछे तर्क समझ सकते हैं । यह एक बहुत ही जटिल विषय है । इसलिए, दुर्भाग्यवश, इस पाठ्यक्रम में, हमारे पास क्रिस्टलीय के पूर्ण पहलुओं को प्राप्त करने के लिए पर्याप्त समय नहीं है, लेकिन हम इससे निपटने के तरीके पर एक सरल आधार स्थापित करने का प्रयास करेंगे । तो, समरूपता क्या है?
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यह पहला प्रश्न है । तो, इस प्रश्न का उत्तर यह है कि समरूपता एक ऑपरेशन है, जो किसी वस्तु को इसमें मूल अवस्था में लाता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि मैं इस वर्ग को लेता हूं, तो समरूपता ऑपरेशन क्या है जो मैं उस पर प्रदर्शन कर सकता हूं ताकि यह बना रहे कि यह एक ही दिखता है। एक संभव विकल्प यह है कि अगर मैं इसे वर्ग के केंद्र के रूप में चुनता हूं, और मैं इसे 90 में बदल देता हूं0 इस धुरी के चारों ओर रोटेशन। इसलिए, महावर कागज के विमान के लंबवत है। इसलिए, यदि मैं 90 लागू करता हूं0 रोटेशन, तो यह फिर से एक ही सही लग रहा है, यह एक वर्ग आकार में वापस आता है । तो, यह एक 90 है0 चक्कर। इसलिए, इसे रोटेशन समरूपता कहा जाता है।
इसी तरह, यदि आप एक त्रिकोण, समभुज त्रिकोण लेते हैं, तो आपको इस पर क्या ऑपरेशन करने की आवश्यकता है? तो, यह त्रिकोण का एक केंद्र है, और मैं एक 120 प्रदान0 चक्कर। इसलिए यह उसी आकार में दिखाई देता है। इसलिए, ये केवल संचालन के उदाहरण हैं जिन्हें आप वस्तु को एक ही आकार में लाने के लिए प्रदर्शन कर सकते हैं। इसलिए, हमें यह समझने की आवश्यकता क्यों है क्योंकि उनकी समरूपता जाली को वर्गीकृत करती है।
इसलिए, यह केवल यह रोटेशन नहीं है, जो एक समरूपता तत्व है। कई समरूपता तत्व हैं। तो, ये समरूपता तत्व क्या हैं? इसलिए, जैसा कि मैंने कहा, समरूपता एक ऑपरेशन है, जब आप किसी वस्तु पर प्रदर्शन करते हैं, तो आप आत्म-संयोग की स्थिति में लाते हैं । तो, अब हम देखते हैं कि समरूपता संचालन के इन समरूपता संचालन क्या हैं?
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इसलिए, समरूपता संचालन के प्रकार, पहला अनुवादक समरूपता है क्योंकि यदि आप सिर्फ 1-डी जाली से शुरू करते हैं। तो, हम कहते हैं, यदि आपके पास 1-डी जाली का यह मामला है, और आप सिर्फ एक परमाणु यहां डाल दिया। इसलिए, आप देख सकते हैं कि, यदि आप 1-डी में बिंदुओं की एक अनंत सरणी में वेक्टर टी द्वारा इस बिंदु से उस बिंदु तक जाते हैं, तो यह जाली अनुवाद वेक्टर टी, आत्म-संयोग की स्थिति में लाता है क्योंकि यह बिंदु उस बिंदु के समान है, तो यह एक अनुवाद है। इसलिए, यह एक ऐसा मामला है जिसे हम ट्रांसलेशनल समरूपता कहते हैं, और यह 1-डी में एक परिभाषित समरूपता है। इसलिए 1-डी में, आपके पास ट्रांसलेशनल समरूपता होनी चाहिए।
अब, यदि मैं इसके चारों ओर आकृति बदलता हूं, तो, यह फिर से 1-डी में है। वहां एक परमाणु के रूप में आदर्श रखने के बजाय, मैं इस तरह से आदर्श रखते हैं । तो, मेरे पास यहां क्या है? मेरे पास अनुवाद टी है, लेकिन मेरे पास दर्पण समरूपता भी है। आप इस छोटे से सबसे खराब कर सकते हैं । यदि आप इसे बनाते हैं तो आप दर्पण को गायब कर सकते हैं। तो, हम कहते हैं कि यह अंधेरा हो जाता है। तो, दर्पण सही गायब हो गया है, लेकिन यह अभी भी है क्योंकि आदर्श अब है । तो, आदर्श शुरू में एक था, और अब यह ए. ए. है, अब आदर्श एबी है । 1-डी में, आप अनुवाद और दर्पण या प्रतिबिंब जैसे संचालन कर सकते हैं। वे 1-डी, 2-डी, 3-डी पर लागू होते हैं, लेकिन केवल दो मामले जो 1-डी में संभव हैं, वे ये 2 हैं। इसलिए, हमें थोड़ा और जटिल हो जाना चाहिए ।
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2-डी में, रोटेशन तत्व का एक अतिरिक्त है, उदाहरण के लिए, यदि मैं इस जाली जेड लेता हूं, तो मुझे इसे आत्म-संयोग में लाने के लिए इस पर क्या रोटेशन प्रदान करने की आवश्यकता है? मुझे इसे 180 तक घुमाने की आवश्यकता है0. इसलिए, यदि मैं 180 तक इस बिंदु पर घूमता हूं0पर, यह एक ही आकार बन जाएगा। घूर्णन समरूपता के मामले में, हम इसे गुना एन-फोल्ड समरूपता के रूप में परिभाषित करते हैं।
तो, एन समरूपता के सिलवटों की संख्या है, और यह एन क्या है? द 360 के बराबर है0 थेटा, या रोटेशन के कोण से विभाजित। इसलिए यह रोटेशन का कोण है। तो, इस मामले में, एन क्या होगा? यह 2 होगा। अब, आप इस से बाहर एक 2-डी जाली कैसे कर सकते हैं? एक समभुज त्रिकोण के मामले में, θ 120 के बराबर होगा0, n 3 के बराबर होगा अगर θ 90 के बराबर है0, एन 4 के बराबर है।
इसके अलावा, यदि आप कुछ फूलों को देखते हैं, तो मुझे यह बहुत सममित नहीं है, लेकिन। तो, कुछ फूलों में 5 पंखुड़ियां बेहतर होती हैं। इसलिए यहां आपकी 5 पंखुड़ियां हैं। तो, यहां आपको 72 का रोटेशन प्रदान करने की आवश्यकता है0, 5 गुना। अगर आप बर्फ के गुच्छे को देखते हैं या फिर इस तरह की चीजों को देखते हैं तो ये 6 गुना समरूपता है। तो, यहां आपको 60 का रोटेशन प्रदान करने की आवश्यकता है0, और यह एन 6 के बराबर होगा, और यदि आपके पास 45 है तो आपके पास आठ गुना समरूपता जैसी चीजें भी हो सकती हैं0 कुछ वस्तुओं के मामले में रोटेशन।
इसलिए, कोई 7 गुना समरूपता नहीं है, 13 गुना; 11 गुना, वे सभी यहां अनुपस्थित हैं । इसलिए, और एक गणितीय आधार है कि मैं उसके विस्तार में क्यों नहीं जा सकता, लेकिन 7, 11 आप देख सकते हैं कि यहां, 9 लापता है, 9 गुना नहीं है; 13 गुना नहीं है। यहां तक कि क्रिस्टलोग्राफी में 5 गुना की अनुमति नहीं है क्योंकि यह जगह नहीं भरता है।
देखिए बात यह है कि आप उस डिग्री का रोटेशन कर सकते हैं, लेकिन अगर कोई ऑब्जेक्ट स्पेस नहीं भरता है । क्रिस्टलोग्राफी में, महत्वपूर्ण बात यह है, क्रिस्टल क्रिस्टलीय सामग्री में, कि ऑपरेशन अंतरिक्ष भरना चाहिए । इसलिए 5 गुना ऑब्जेक्ट स्पेस नहीं भरता है। इसलिए, नतीजतन, क्रिस्टलीय सामग्री 5 गुना समरूपता नहीं दिखाती है। सामग्री का एक और वर्ग है, जो दिखाता है कि 5 गुना समरूपता को अर्ध क्रिस्टलीय सामग्री कहा जाता है, लेकिन वे गैर-संतुलन सामग्री हैं।
इसलिए, इसी तरह, अन्य समरूपताओं को उन सामग्रियों द्वारा 10 गुना समरूपता या 9 गुना समरूपता द्वारा भी दिखाया जाता है, कुछ सामग्री उन्हें दिखा सकती है, लेकिन सामान्य रूप से क्रिस्टलीय सामग्रियों में देखा जाता है। इसलिए, क्रिस्टलीय सामग्रियों के मामले में, हम ज्यादातर में रुचि रखते हैं एन-फोल्ड 2-गुना, 3 गुना, 4 गुना, और 6 गुना और 1 गुना समरूपता है। इसलिए, अब हमें इस जाली पर वापस आना चाहिए, जिसे मैंने खींचा है । तो, आप देख सकते हैं कि इस मामले में इस जाली में।
तो, अगर मैं इस बिंदु के आसपास एक रोटेशन प्रदान करते हैं तो भी एक 2 गुना रोटेशन संभव है, वहां 3 गुना संभव है? 3 गुना की कोई संभावना नहीं है। 4 गुना संभव है। 6 गुना, 5 गुना संभव नहीं है। इसलिए, इसमें 2 और 4 हैं। तो, निश्चित रूप से, इस बिंदु के आसपास, यह 4 गुना होगा, लेकिन 2 गुना आप भी इन बिंदुओं पर हो सकता है। इसलिए, आप अधिकतम संभव समरूपता से प्रत्येक बिंदु को परिभाषित करते हैं। तो, यहां यह केंद्र, यह आपको 4 गुना प्रदान कर सकता है। इसलिए, हालांकि यह आपको 2-गुना भी प्रदान कर सकता है, आपने 4 गुना द्वारा चित्रित किया है, क्योंकि 4-गुना उच्च समरूपता है जिसे आप इस बिंदु के चारों ओर घुमाकर प्राप्त कर सकते हैं। इसलिए, इसी प्रकार इन बिंदुओं के इर्द-गिर्द इन्हें 2 बिंदुओं के रूप में दर्शाया गया है क्योंकि वे आपको 4 गुना नहीं दे सकते । वे केवल आपको 2 गुना दे सकते हैं। इसलिए, आप इस समरूपता बिंदुओं को इस तरीके से जाली में घूर्णन समरूपता बिंदुओं को चित्रित करते हैं।
अब, आप देख सकते हैं कि यदि आपके पास एक वर्ग जाली है और यदि मैं एक आदर्श चुनता हूं जो सममित पर्याप्त है या जो परिपत्र है, तो आपको 2 गुना और 4 गुना मिलता है, लेकिन अब हम कहते हैं, जाली एक वर्ग है, लेकिन मैं इन त्रिकोणों द्वारा आकृति को प्रतिस्थापित करता हूं। इसलिए मैंने अब मोटिफ बदल दिया है। क्या इसमें 4 गुना या 2 गुना समरूपता है?
इसमें 2 गुना नहीं है, नहीं इसमें कोई 4 गुना नहीं है। तो, क्या मैं यहां जोर मतलब है, हम क्या सममित लग रहा है की पारंपरिक परिभाषा से नहीं जा सकते हैं । हमें इन परिभाषाओं समरूपता के अनुसार जाना होगा, जो इसे बहुत विशिष्ट बनाती है । इसलिए, हालांकि यह एक वर्ग ग्रिड की तरह दिखता है, यह वास्तव में एक वर्ग जाली नहीं है क्योंकि यह 4 गुना का पालन नहीं करता है, इसमें 4 गुना समरूपता नहीं है, इसमें 3 गुना समरूपता भी नहीं है, क्योंकि यदि आप 3 गुना समरूपता ऑपरेशन करते हैं, तो यह एकमात्र ऑपरेशन नहीं रहता है, इसलिए इसमें केवल 1 गुना समरूपता है। आप देख सकते हैं कि इसमें केवल 1 गुना समरूपता, घूर्णन समरूपता है। तो, यही कारण है कि, क्रिस्टलोग्राफी में, एक घन घन नहीं हो सकता है; यदि इसमें समरूपता के तत्व नहीं हैं जो घन के लिए विशिष्ट हैं, जो मैं थोड़ी देर में आऊंगा। तो, हमें यहां हवा, और अब हम अगले व्याख्यान के लिए ले जा सकते हैं ।